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Conception de la parabole : calculs
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Conception de la parabole : calculs
Avec des procédés artisanaux, il est difficile d'obtenir
une surface parabolique parfaite et en un seul morceau (comme les
récepteurs satellites fabriqués industriellement), et de
surcroit de taille suffisante, avec un matériau
réfléchissant, pour un coût raisonnable.
On pourrait penser qu'il "suffit" de courber une feuille
réfléchissante correctement pour obtenir une forme
parabolique, mais en fait il n'en est rien : la surface parabolique est
courbée selon toutes les directions, alors que pour une feuille
on trouvera toujours une direction qui n'est pas courbée.
Les mathématiciens disent qu'une surface parabolique est munie
d'une "courbure riemanienne" (tout comme comme la sphère), alors
que la feuille ne peut épouser que des surfaces
dépourvues
d'une telle courbure (comme le cylindre, le cône ou un plan...)
Par la suite, j'appellerai "cintrage" le fait de n'être
courbé que dans une direction
On va donc se contenter d'une approximation de parabole, en assemblant
des morceaux de feuille. On peut bien sûr envisager plusieurs
solutions.
Si notre matériau réfléchissant est plat et rigide
(ex : miroirs en verre ), on doit en assembler un nombre assez
important.
Si par contre on dispose d'un matériau
réfléchissant souple, on peut alors assembler des bandes
cintrées, ce qui diminue sensiblement le nombre de morceaux
à assembler.
Voici ce que cela pourrait donner, si l'on regarde la parabole "en vue
de dessus" (en imaginant l'axe de la parabole tourné vers le
haut):
Assemblages de petits éléments plats
| type d'assemblage | triangulaires |
carrés |
| parabole vue de dessus |  |
 |
| forme des petits éléments mis à plat |  triangles non équilatéraux |
 parallélogrammes (si si !.) |
Assemblages de bandes cintrées
| type d'assemblage | bandes circulaires | bandes rectangulaires | secteurs angulaires |
| parabole vue de dessus |  |
 |
 |
| forme des bandes cintrées mises à plats |  |
 voir calcul de la forme des bandes ci-dessous |
 |
Nous avons fait le deuil de la parabole parfaite, en la
remplaçant par un assemblage d'éléments. Plus les
éléments sont nombreux, plus l'on s'approche de la
parabole parfaite et plus les rayons seront biens concentrés
autour du foyer.
Sur le schéma ci-dessous, on voit qu'un élément
dont la "largeur vue de dessus" est L renverra les rayons dans une zone
de
taille L autour du foyer.
Cela signifie que pour concentrer les rayons autour d'une casserole de
20 cm (en largeur comme en hauteur, pour faire simple), il suffit que
la "largeur vue de dessus" des élements composant la parabole ne
dépasse pas 20 cm.
Il est inutile d'avoir des éléments moins larges, car
cela ferait plus d'éléments à assembler, pour un
résultat pas forcément meilleur. En effet, une marge
d'erreur de 2 mm par exemple dans les tracés, la découpe
et l'assemblage n'aura que peu d'incidence sur des
éléments suffisamment grands, mais pourra en revanche
donner des erreurs d'orientation importantes pour des
éléments plus petits.
Pour résumer, la manière la plus logique de construire
notre parabole est d'assembler des éléments ou bandes
cintrées de même largeur vue de dessus, cette largeur
correspondant à l'étendue du foyer, qui n'a pas besoin
d'être plus petit que la taille du récipient de cuisson.
Une surface surface parabolique d'axe z admet une équation du
type z = r²/(4f) où r représente la
distance à l'axe z, et f la distance entre le foyer et le creux
de la surface parabolique. Les matheux remarqueront le point de la
courbe de coordonnée r=2f et z = f, pour lequel la
dérivée vaut 1 : les rayons verticaux arrivant sur la
pente à 45° sont renvoyés horizontalement vers le
foyer qui se trouve bien à la cote z=f.
Si l'on travaille avec trois coordonnées x, y et z, on peut
remplacer r² par x² + y² (pythagore) et
l'équation de la surface parabolique est z = (x² +
y²)/(4f)
Lorsque l'on a choisi une forme pour les éléments "vus de
dessus", on aura besoin de connaître la forme qu'il auront une
fois mis à plat, autrement dit la forme du patron qui servira
à découper les éléments.
On peut utiliser la méthode générale suivante :
- on détermine les coordonnées précises x et y de
divers points de l'élément en "vue de dessus" ( le dessus
est ici l'axe z !...)
- on détermine la cote z de ces points en utilisant
l'équation z = (x² + y²)/(4f)
- on se sert alors de ces coordonnées pour déterminer la
distance entre deux points, ou l'angle formé par 3 points etc.
Cela permet d'en déduire la forme des éléments
"mis à plat".
La solution que j'ai choisie est un assemblage de bandes rectangulaires
vu de dessus. Il me faut donc calculer la forme de cette bande
rectangulaire une fois mise à plat : elle ne sera plus
rectangulaire !...
Pour commencer, considérons un rectangle délimité
par les abscisses x1 et x2, et les ordonnées y1 et y2.
Ce
rectangle vu de dessus est délimité par 4 points A, B, C,
D sur la surface parabolique, dont les coordonnées de ces points
sont :
Or il se passe quelque chose d'intéressant : on peut
vérifier que ces 4 points forment un parallèlogramme ! En
effet, si l'on calcule les composantes de deux vecteurs :
Si l'on met "à plat" ABCD, on aura donc le patron suivant :
J'ai représenté par X et Y en majucule et en bleu le
nouveau repère dans lequel on met les éléments de
la parabole à plat, pour le différencier de l'ancien
repère x et y en minuscule dans lequel on a formulé
l'équation de la parabole.
Maintenant, si l'on souhaite obtenir une longue bande, il nous suffit
donc d'assembler des parallèlogrammes élémentaires.
On peut aller plus loin en considérant la bande comme un
assemblage d'un nombre très grand de parallélogrammes de
longueur très petite, pour obtenir une bande bien
régulière.
Considérons l'un de ces parallélogramme
élémentaire, délimité par les abcisses x et
x +dx, et les ordonnées y1 et y2.
Ce parallélogramme peut être défini par 2 vecteurs,
par exemple AB et AD :
On a posé 
et 
La largeur de la bande est donnée par la longueur AB :
On a
posé 
La bande sera mise à plat, dans un repère d'axe X et Y
(avec des majuscules). On choisira de placer les vecteurs AB
parallèles à l'axe des Y.
Les points A et D auront pour coordonnées (X, Y) et (X +
dX, Y+dY) dans ce nouveau repère. Appelons teta l'angle entre AD
et AB. On aura :
Nous n'avons pas détaillé le cacul de la première
intégrale ; il se fait par un changement de variable du
type x = a sh(u).
OUF !... Nous voici au terme du calcul. Récapitulons tout :
- Notre parabole a pour longueur focale f.
- Son axe étant orienté selon l'axe vertical z, nous
cherchons la forme de la bande délimitée par les abcisses
y1 et y2
En posant :
et
La bande est ainsi délimitée par deux courbes dont l'une
a pour équation paramétrique (avec le paramètre x)
:
et l'autre est de même forme, et décalée selon
l'axe Y d'une largeur 